BAB II
SISTEM BILANGAN
2.1 Bilangan Biner
Jika
bilangan desimal (radix/dasar 10) mempunyai simbol 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, bilangan dasar 2 atau biner hanya
mempunyai dua simbol, yaitu 0 dan 1. Dua simbol tersebut dapat mewakili semua
angka. Untuk mewakili suatu kelompok
yang terdiri dari 2n unsur yang berbeda, sandi biner akan memerlukan
paling sedikit n bit itu. Hal itu dikarenakan untuk menyusun n bit itu dalam 2n
cara yang berlainan. Meskipun banyaknya bit minimum yang diperlukan untuk
menjadikan 2n besaran yang berbeda itu adalah n, tidak ada batas
maksimum banyaknya bit yang dapat dipergunakan untuk suatu sandi biner. Jadi
untuk m karakter yang diwakili sebagai sandi biner, diperlukan
sekurang-kurangnya n bit yang diperoleh menurut hubungan berikut : 2n ³ m.
Berbagai macam sandi untuk bilangan desimal dapat diperoleh dengan mengatur 4
bit atau lebih dalam 10 kombinasi yang berlainan.
Berikut tabel bilangan desimal dan bilangan
biner :
|
Desimal
|
Biner
|
|
0
|
0000
|
|
1
|
0001
|
|
2
|
0010
|
|
3
|
0011
|
|
4
|
0100
|
|
5
|
0101
|
|
6
|
0110
|
|
7
|
0111
|
|
8
|
1000
|
|
9
|
1001
|
|
10
|
1010
|
|
11
|
1011
|
|
12
|
1100
|
|
13
|
1101
|
|
14
|
1110
|
|
15
|
1111
|
2.1.1 Mengubah bilangan
desimal menjadi bilangan biner
Berikut
langkah-langkah untuk mengubah bentuk bilangan desimal menjadi bilangan biner :
Contoh :
1. Ubahlah bilangan desimal 9
menjadi bilangan biner!
v
Bilangan dibagi 2,
hingga didapat hasil akhir 1.
Bilangan dibagi 2,
hingga didapat hasil akhir 1.
v 
Baca hasil pembagian dari bawah ke
atas, maka akan didapatkan hasil
9=1001
Baca hasil pembagian dari bawah ke
atas, maka akan didapatkan hasil
9=1001
2.1.2 Mengubah bilangan biner menjadi bilangan desimal
Berikut langkah-langkah untuk
mengubah bentuk bilangan biner menjadi bilangna desimal :
Contoh :
- Ubahlah
bilangan biner 1011 menjadi bilangan desimal!
1
0 1 1
 |
 |
||
(1x2³)+(0x2²)+(1x2¹)+(1x2º)
=
8 + 0 + 2 + 1
=
11
Maka, 1011 = 11
2.2 Bilangan BCD
BCD (Binary Coded
Decimal-desimal yang disandikan biner) merupakan penetapan langsung dari setara
binernya. Sandi tersebut juga dikenal sebagai sandi BCD 8421 yang menunjukkan
bobot untuk masing-masing kedudukan bitnya.
Sebagai contoh, bilangan decimal 1996 dapat disandikan menurut BCD
sebagai : 1996 = 0001 1001 1001
0110. Perlu diperhatikan bahwa pengubahan suatu bilangan decimal ke
bilangan biner berbeda dengan penyandian suatu bilangan decimal, meskipun dalam
kedua hal tersebut hasilnya sama-sama berupa suatu deretan bit. Untuk sandi BCD
ini, sandi bilangan decimal 0 sampai 9 sama dengan bilangan biner setaranya.
Namun untuk diatas 9, sandi BCD berbeda dengan bilangan biner setaranya.
Misalnya setar biner untuk 11 adalah 1011, tetapi sandi BCD untuk 11 adalah
0001 0001. Oleh karena itu, perlu
diingat bahwa suatu deretan bit (angka) 0 dan 1 dalam suatu system digital
kadang-kadang mewakili suatu bilangan biner dan pada saat yang lain merupakan
informasi diskrit yang ditentukan oleh suatu sandi biner tertentu. Keunggulan
utama sandi BCD adalah mudahnya mengubah dari dan ke bilangan decimal.
Sedangkan kerugiannya adalah sandi yang tidak akan berlaku untuk operasi
metematika yang hasilnya melebihi 9. Sandi BCD hanya menggunakan 10 dari 16
kombinasi yang tersedia. 6 kelompok bit yang tidak terpakai adalah 1010, 1011,
1100, 1101, 1110, dan 1111. Sandi BCD merupakan sandi radiks campuran, dalam
setiap kelompok 4 bitnya merupakan sistem biner, tetapi merupakan decimal untuk
kelompok demi kelompoknya.
2.3
Sandi Excess-3 (XS-3)
Sandi XS-3 (yang berasal dari excess-3, artinya kelebihan 3) merupakan
sandi penting lainnya yang erat hubungannya dengan sandi BCD. Sesuai dengan
namanya, penetapannya diperoleh dari nilai binernya, sama seperti pada sandi
BCD dan menambahnya dengan 3. Sebagai contoh, untuk mengubah 23 menjadi sandi
XS-3 adalah sebagai berikut : 23 = 0101
0110 , dengan ditambah 3 untuk setiap angka decimal yang diketahui dan
hasilnya diubah menjadi bilangan biner setaranya akan menghasilkan sandi XS-3
yang diminta. Seperti halnya pada BCD, sandi XS-3 hanya menggunakan 10 dari 16
kombinasi yang tersedia. 6 kelompok bit yang tidak digunakan adalah 0000, 0001,
0010, 1101, 1110, dan 1111. Sandi XS-3 adalah sandi tidak berbobot karena tidak
seperti halnya pada sandi BCD yang kedudukan bitnya mempunyai bobot tertentu.
Sandi XS-3 merupakan sandi yang mengkomplemenkan dirinya sendiri. Hal itu
terjadi karena setiap komplemen-1 dari bilangan XS-3 adalah komplemen-9 dari
bilangan desimalnya. Misalnya, 0101 dalam sandi XS-3 mewakili angka decimal 2.
Komplemen-1 0101 adalah 1010 yang merupakan angka decimal 7 dan 7 adalah
komplemen-9 dari 2. Sandi XS-3 mempunyai keunggulan dibandingkan dengan sandi
BCD karena semua operasi penjumlahan untuk XS-3 berlangsung seperti penjumlahan
biner biasa dan juga karena XS-3 merupakan sandi yang mengkomplemenkan dirinya
sendiri. Pengurangan dengan komplemen-1 dan komplemen-2 dapat dilakukan untuk
sandi XS-3.
Berikut tabel bilangan excess-3 :
|
Bilangan
Decimal
|
XS-3
|
|
0
|
0011
|
|
1
|
0100
|
|
2
|
0101
|
|
3
|
0110
|
|
4
|
0111
|
|
5
|
1000
|
|
6
|
1001
|
|
7
|
1010
|
|
8
|
1011
|
|
9
|
1100
|
|
10
|
-
|
|
11
|
-
|
|
12
|
-
|
|
13
|
-
|
|
14
|
-
|
|
15
|
-
|
2.4 Sandi Gray
Sandi Gray merupakan suatu sandi 4 bit tanpa bobot dan tidak sesuai untuk
operasi aritmatika. Sandi Gray ini sangat berguna untuk peralatan
masukan/keluaran (input/output devices), pengubah analog ke digital dan
peralatan tambahan lainnya. setiap perubahan dari 1 bilangan decimal yang 1
dengan yang berikutnya hanya 1 bit dalam sandi gray yang berubah. Itulah
sebabnya sandi gray digolongkan ke kelompok sandi perubahan-minimum
(minimum-change code).
Berikut tabel bilangan biner dan
sandi gray :
|
Desimal
|
Sandi
Gray
|
Biner
|
|
0
|
0000
|
0000
|
|
1
|
0001
|
0001
|
|
2
|
0011
|
0010
|
|
3
|
0010
|
0011
|
|
4
|
0110
|
0100
|
|
5
|
0111
|
0101
|
|
6
|
0101
|
0110
|
|
7
|
0100
|
0111
|
|
8
|
1100
|
1000
|
|
9
|
1101
|
1001
|
|
10
|
1111
|
1010
|
|
11
|
1110
|
1011
|
|
12
|
1010
|
1100
|
|
13
|
1011
|
1101
|
|
14
|
1001
|
1110
|
|
15
|
1000
|
1111
|
|
…
|
…
|
…
|
2.4.1 Perubahan Biner ke Gray
Contoh :
Ubahlah bilangan biner 1100
menjadi sandi gray!
Ø LANGKAH
1
Angka Gray pertama sama dengan angka biner pertama.
1
1 0 0 biner
1 Gray
Ø
LANGKAH 2 Selanjutnya, tambahkan 2 bit pertama pada
bilangan biner, dengan mengabaikan setiap bawaan. Jumlahnya merupakan angka
Gray berikutnya.
1 1 0 0 biner
1 0 Gray
ket : 5
hal ini secara formal disebut penambahan mod-2, atau penambahan OR-eksklusif.
Keempat kaidah bagi penambahan jenis ini adalah : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0
=1, 1 + 1 = 0
Dengan
perkataan lain, tambahkan 2 bit pertama pada bilangan biner untuk mendapatkan 1
+ 1 = 0 dengan bawaan 1. Tuliskan angka 0, namun abaikan angka 1.
Ø
LANGKAH 3 Tambahkan 2 angka biner berikutnya untuk
mendapatkan angka Gray berikutnya.
1 1 0 0 biner
1 0 1 Gray
Ø
LANGKAH 4 Tambahkan 2 angka biner
terakhir untuk mendapatkan angka Gray.
1 1 0 0 biner
1 0 1 0 Gray Maka, 1100 (biner) = 1010 (gray)
2.4.2
Perubahan Gray ke biner
Contoh :
Ubahlah sandi gray 101110101 menjadi bilangan biner!
Ø LANGKAH
1 Ulangilah
angka paling berbobot
1 0 1 1 1 0 1 0 1 Gray
1
biner
Ø
LANGKAH 2 Tambahkan
secara diagonal seperti terliha di bawah ini untuk mendapatkan angka
biner berikutnya.
1
0 1 1 1 0 1 0 1 Gray
1 1 biner ( 1 + 0 = 1)
Ø
LANGKAH 3 Lanjutkan menambahkan secara
diagonal untuk mendapatkan angka-angka biner selanjutnya.
1 0 1 1 1 0 1 0 1 Gray
1 1 0 1 0 0 1 1 0 biner
Maka, 101110101 (gray) = 110100110
(biner)
2.5 Sistem
Komplemen
Dalam Sistem desimal terdapat sistem komplemen yang
terbagi kedalam tiga kelompok, yaitu :
v
Pada
bilangan decimal yaitu komplemen 9 (komplemen ganjil) dan komplemen 10
(komplemen genap).
v
Pada
bilangan biner yaitu komplemen 1 (komplemen ganjil) dan komplemen 2
(komplemen genap).
2.5.1
Komplemen
1 (k’1)
|
Biner
|
K’1
|
|
0
|
1
|
|
1
|
0
|
Komplemen 1 bagi suatu bilangan biner adalah
bilangan yang terjadi bila kita mengubah masing-masing 0 menjadi 1 dan
masing-masing 1 menjadi 0. Komplemen ini hanya
berlaku untuk bilangan negatif.
Dalam
K’1 juga dikenal adanya SIGN BIT (Bit tanda bilangan), yaitu :
|
Tanda bilangan
|
Sign Bit
|
|
+
|
0
|
|
–
|
1
|
Contoh:
·
Komplemen 1 dari -100 adalah 1011 (1 merupakan sign
bit negatif)
·
Komplemen 1 dari +110 adalah 0011, bilangan tidak berubah karena k’1 tidak berlaku
untuk bilangan positif.
2.5.2
Komplemen
2 (k’2)
Komplemen 2 adalah bilangan biner yang terjadi bila
kita menambahkan 1 kepada kepada komplemen 1, yakni k’2 = k’1 + 1. Sama seperti komplemen 1, komplemen 2 juga hanya berlaku untuk bilangan negatif.
Contoh:
Ubahlah bilangan biner 1011 menjadi komplemen 2!
Cara
mengubah :
·
Pertama-tama carilah komplemen 1 nya yaitu 0100.
·
Tambahkan 1 kepada 0100 untuk mendapatkan 0101
(komplemen 2 bagi 1011).
2.5.3 Komplemen 9 (k’9)
Komplemen
9 (sama dengan komplemen 1 / ganjil) diperoleh dengan mengurangkan masing-masing
angka decimal dari 9. Komplemen 9 hanya
berlaku untuk bilangan negatif.
|
Desimal
|
K’9
|
|
-0
|
9
|
|
-1
|
8
|
|
-2
|
7
|
|
-3
|
6
|
|
-4
|
5
|
|
-5
|
4
|
|
-6
|
3
|
|
-7
|
2
|
|
-8
|
1
|
|
-9
|
0
|
Contoh :
§
Komplemen 9 dari -421 adalah 578
§
Komplemen 9 dari +43 adalah 43, (tidak berubah,
karena k’9 tidak berlaku untuk bilangan positif)
§
Komplemen 9 dari -1768,59 adalah 8231,4
2.5.4 Komplemen 10 (k’10)
Komplemen 10 (sama
dengan komplemen 2 / genap) adalah suatu bilangan bulat desimal satu lebih
besar daripada komplemen 9 nya, yakni k’10
= k’9 + 1.
Sama seperti komplemen 9, komplemen
10 juga hanya berlaku untuk bilangan
negatif.
|
Desimal
|
K’10
|
|
-0
|
10
|
|
-1
|
9
|
|
-2
|
8
|
|
-3
|
7
|
|
-4
|
6
|
|
-5
|
5
|
|
-6
|
4
|
|
-7
|
3
|
|
-8
|
2
|
|
-9
|
1
|
Contoh :
§
Komplemen 10 dari -421 adalah 579
§
Komplemen 10 dari -12,7 adalah 87,3
§
Komplemen 10 dari -0,3456 adalah 9,6544
LATIHAN SOAL
1. Ubahlah bilangan desimal 800
menjadi bilangan biner!
2. Ubahlah bilangan desimal 2006
menjadi bilangan biner!
3. Ubahlah bilangan biner 101100100 menjadi bilangan
desimal!
4. Ubahlah bilangan biner 101000111 menjadi bilangan
desimal!
5. Ubahlah bilangan desimal 3456 menjadi bilangan BCD!
6. Ubahlah bilangan biner 10111110 menjadi sandi gray!
7. Ubahlah sandi gray 1001111111 menjadi bilangan biner!
8. Jumlahkan
bilangan desimal berikut dengan sistem K’9, K’10, K’1, dan K’2 !
42
-17 +
‾‾‾‾‾‾‾‾
Kunci Jawaban dan Pembahasan
1. Ubahlah bilangan desimal 800
menjadi bilangan biner!
Maka : 800 = 1100100000
2.
Ubahlah bilangan desimal 2006 menjadi bilangan biner!
Maka
: 2006 = 11111010110
3. Ubahlah bilangan biner 101100100 menjadi bilangan
desimal!
1 0 1 1 0 0 1 0 0
(1x2
)+(0x2
)+(1x2
)+(1x2
)+(0x2
)+(0x2
)+(1x2
)+(0x2¹)+(0x2º)
)+(0x2)+(1x2)+(1x2)+(0x2)+(0x2)+(1x2)+(0x2¹)+(0x2º)
= 256+0+64+32+0+0+4+0+0
= 356
Maka, 101100100 = 356
4. Ubahlah bilangan biner 101000111 menjadi bilangan
desimal!
101000111 |
 |
||
(1x2)+(0x2)+(1x2)+(0x2)+(0x2)+(0x2)+(1x2)+(1x2¹)+(1x2º)
)+(0x2)+(1x2)+(0x2)+(0x2)+(0x2)+(1x2)+(1x2¹)+(1x2º)
=256+0+64+0+0+0+4+2+1
=327
Maka, 101000111 = 327
5. Ubahlah bilangan desimal 3456 menjadi bilangan BCD!
3456
0011 0100 0101 0110
Maka, 3456 = 0011 0100 0101 0110
6. Ubahlah bilangan biner 10111110 menjadi sandi gray!
Maka,
10111110 (biner) = 11100001 (gray)
7. Ubahlah sandi gray 1001111111 menjadi bilangan biner!
Maka,
1001111111 (gray) = 1110101010 (biner)
8. Jumlahkan
bilangan desimal berikut dengan sistem K’9, K’10, K’1, dan K’2 !
42
-17 +
‾‾‾‾‾‾‾‾
Secara desimal
: 42 + (-17) = 25
Secara
K’9
: 42 42
-17
+ 82 +
‾‾‾‾‾‾‾‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾
124
1 +
‾‾‾‾‾‾‾‾
25
EAC (End Around Carry)
Secara
K’10 : 42 42
-17
+ 83 +
‾‾‾‾‾‾‾‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾
1 25
 |
Diabaikan
Secara
K’1, langkah-langkahnya :
v
Bilangan biner dari 42 adalah 101010, ditambah
“Sign Bit” 0 (untuk bilangan positif) diawal bilangan sehingga menjadi 0101010,
lalu K’1 nya adalah 0101010 (tidak berubah karena bilangan positif)
v
Bilangan
biner dari 17 adalah 10001, agar jumlah bit nya sama dengan jumlah bit 42 maka
ditambah 1 bit menjadi 010001, lalu ditambah “Sign Bit” 1 (untuk bilangan
negatif) diawal bilangan, sehingga menjadi 1010001, lalu K’1 nya adalah 1101110
(sign bit tidak berubah)
42 0101010
-17
+ 1101110 +
‾‾‾‾‾‾‾‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
10011000
1 +
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
0011001 --------à 25
EAC (End Around Carry)
Secara K’2
: Seperti K’1, namun -17
diganti menjadi 1101110 + 1 (karena K’2=
K’1+1) yaitu menjadi 1101111
Sehingga
pengerjaannya sebagai berikut :
42 0101010
-17
+ 1101111 +
‾‾‾‾‾‾‾‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
1 0011001
|
Diabaikan
Sehingga
hasilnya adalah 0011001 (biner) = 25 (desimal)
Post a Comment